Проекция меркатора с двумя главными параллелями. Практическая картография

Позволяющий накладывать контуры стран на другие территории с учётом компенсации искажений проекции Меркатора. Эта проекция была когда-то создана в навигационных целях - чтобы обеспечить точное взаимное расположение территорий по осям "север - юг" и "запад - восток". Однако у неё есть свой недостаток - чем ближе к полюсам, тем больше искажение. Другие проекции также имеют серьёзные искажения. Именно поэтому наше восприятие географической карты тоже существенно искажено - скажем, Гренландия на карте проекции Меркатора занимает площадь втрое больше Австралии, хотя в реальности она в 3,5 раза меньше (!). И чем ближе к экватору, тем относительная величина стран меньше.

В общем, на этом сайте можно проделывать всякие любопытные фокусы и смотреть метаморфозы разных стран в наложении. Даже удивительно, что такой сайт не появился раньше - настолько хороша базовая идея. Иногда получаются удивительные эффекты, рушащие привычные шаблоны. Кроме того, страну можно вертеть по окружности, и в этом случае также будут учитываться компенсации проекции.

Давайте некоторые эффекты посмотрим.
Вот, например, наложение на индонезийские острова некоторых стран Европы. Смотрите, как скромненько смотрится немаленькая Франция на Калимантане (справа). Чехия наложена на юг Малайзии и Сингапур (в центре), а слева - Норвегия на Суматре. Очень протяжённая в европейских масштабах, на самом деле она всего лишь чуть длинней о.Суматра.

2. Китай на Восточной Евразии. Если зафиксировать его западную границу на линии Таллин - Прага, то восток (Маньчжурия) будет восточней Новосибирска, а Ляодунский полуостров - где-то в районе Астаны. Хайнань при этом будет в центральном Иране.

3. Австралия на Восточной Евразии. Вот тут компенсация проекции Меркатора видна наиболее наглядно: она простирается от Мюнхена до Челябинска, а с юга на север - и того больше. Тут видно, какие колоссальные по площади пустынные территории имеются в Австралии - не меньше, чем сибирские стылые просторы, ведь там населен более-менее только юго-восток и узкой полоской на запад.

4. Мексика на Европе. От французского Бреста почти до Нижнего Новгорода. А мексиканская Калифорния тянется от Нормандии до Венеции.

5. Индонезия на Восточной Евразии. Протяженность островов эквивалентна расстоянию от Северной Ирландии до Центрального Казахстана, а один только Калимантан легко покрывает всю Прибалтику с российским Северо-Западом.

6. Соединённые Штаты на Восточной Евразии. От Таллина - больше чем до Красноярска!

7. Казахстан на Европе. Тоже, в общем-то, очень солидно: от запада Франции почти до Харькова. Накрывает большую часть континентальной Европы.

8. Иран на Северной Европе: от норвежских Лофотен до Казани:)

9. Вьетнам на Европейской России. По вертикали эквивалентен расстоянию поезда №7 Ленинград - Севастополь, но и по горизонтали тоже ничего: от Москвы до Челябинска, причём изогнуто.

Другие любопытные сравнения.

10. Камчатка и Великобритания. Небольшая совсем: от мыса Лопатка до Паланы.

11. Эстония как треть небольшой в принципе Либерии.

12. Австрия, Венгрия, Бельгия на Мадагаскаре.

Посмотрим теперь эквиваленты России.

13. Россия на Австралии. Если Перт в районе Махачкалы, то Мельбурн - где-то около Барнаула. Солидно. Но всё равно Россиюшка простирается чуть ли не до Фиджи.

14. Россия на Африке. Кубань в районе ЮАР (Новороссийск как Кейптаун) - Камчатка достигает юга Анатолии, примерно где Анталья.

15. Россия на Южной Америке. Если Огненная Земля примерно где Чечня - то Камчатка в районе Колумбии, а Чукотка заходит северней Панамского канала. Видите, сколь колоссальна наша страна? Больше целого континента.

16. Россия на Северной Америке. Сан-Франциско в районе Крыма - Чукотка почти у Ирландии. Тут хорошо видна величина океанских просторов Северной Атлантики, кстати.

17. Люксембург на Санкт-Петербурге. Не такой уж он и маленький:)))

18. На этой территории (Бангладеш, отмечено синим) - живёт 168 млн. человек!!! Представляете плотность населения? И это не комфортный умеренный климат, а влажные тропические джунгли и протоки Ганга и Брахмапутры...

19. И на десерт - Чили вдоль Транссиба. Как видите, она покрывает расстояние от Москвы до Байкала, узкой полосой.

Вот такие любопытные сравнения:)

Посмотрите на эту карту и скажите, какая территория больше по площади: Гренландия, помеченная белым, или Австралия, помеченная оранжевым? Кажется, что Гренландия больше Австралии раза в три по крайней мере.

Но, заглянув в справочник, мы к своему удивлению прочитаем, что площадь Австралии составляет 7,7 млн км 2 , а площадь Гренландии - только 2,1 млн км 2 . Так что Гренландия кажется такой большой только на нашей карте, а в действительности она меньше Австралии примерно в три с половиной раза. Сравнивая эту карту с глобусом, можно заметить, что чем дальше от экватора находится территория, тем сильнее она растянута.

Карта, которую мы с вами рассматриваем, построена с помощью картографической проекции, которую придумал в XVI веке фламандский учёный Герард Меркатор . Он жил в эпоху, когда прокладывались новые торговые пути через океаны. Колумб открыл Америку в 1492 году, а первое кругосветное плавание под руководством Магеллана состоялось в 1519–1522 годах - когда Меркатору было 10 лет. Открытые земли надо было наносить на карты, а для этого надо было научиться изображать на плоской карте круглую Землю. И карты надо было делать такими, чтобы капитанам было удобно ими пользоваться.

А как капитан пользуется картой? Он прокладывает по ней курс. Мореплаватели XIII–XVI века пользовались портуланами - картами, на которых изображался бассейн Средиземного моря, а также лежащие за Гибралтаром побережья Европы и Африки. На такие карты была нанесена сетка румбов - линий постоянного направления. Пусть капитану нужно проплыть в открытом море от одного острова до другого. Он прикладывает к карте линейку, определяет курс (например, «на юго-юго-восток») и отдаёт рулевому приказ держать этот курс по компасу.

Идея Меркатора состояла в том, чтобы сохранить принцип прокладки курса по линейке и на карте мира. То есть, если держать по компасу постоянное направление, то путь на карте будет прямой. Но как это сделать? И здесь на помощь картографу приходит математика. Мысленно разрежем глобус на узкие полоски по меридианам, как показано на рисунке. Каждую такую полоску можно без особых искажений развернуть на плоскости, после чего она превратится в треугольную фигуру - «клин» с искривлёнными боковыми сторонами.

Однако глобус при этом оказывается рассечённым, а карта должна быть сплошной, без разрезов. Чтобы этого добиться, разделим каждый клин на «почти квадраты». Для этого из нижней левой точки клина проведём отрезок под углом 45° до правой стороны клина, оттуда проведём горизонтальный разрез до левой стороны клина - отрезали первый квадрат. Из точки, где кончается сделанный разрез, снова проведём отрезок под углом 45° до правой стороны, потом горизонтальный - до левой, отрезая следующий «почти квадрат», и так далее. Если исходный клин был очень узким, «почти квадраты» будут отличаться от настоящих квадратов совсем незначительно, поскольку их боковые стороны будут почти вертикальными.

Выполним завершающие действия. Выпрямим «почти квадраты» до настоящей квадратной формы. Как мы поняли, искажения при этом можно сделать сколь угодно малыми, уменьшая ширину клиньев, на которые мы режем глобус. Квадраты, прилежавшие на глобусе к экватору, выложим в ряд. На них уложим по порядку все остальные квадраты, растянув их перед этим до размеров приэкваториальных квадратов. Получится сетка из квадратов одного размера. Правда, при этом параллели, равноотстоящие на карте, уже не будут равноотстоящими на глобусе. Ведь чем дальше исходный квадрат на глобусе отстоял от экватора, тем большему увеличению он подвергся при переносе на карту.

Однако углы между направлениями при таком построении останутся неискажёнными, потому что каждый квадрат практически только изменился в масштабе, а направления при простом увеличении картинки не меняются. И именно этого добивался Меркатор, когда он придумывал свою проекцию! Капитан может прокладывать свой курс на карте по линейке и вести по этому курсу свой корабль. При этом корабль будет плыть по линии, идущей под одним и тем же углом ко всем меридианам. Эта линия называется локсодромией .

Плавание по локсодромии очень удобно, поскольку оно не требует никаких специальных расчётов. Правда, локсодромия не является кратчайшей линией между двумя пунктами на земной поверхности. Такую кратчайшую линию можно определить, натянув на глобусе нитку между этими пунктами.

Художник Евгений Паненко

При движении судна постоянным истинным курсом линия курса пересекает каждый меридиан под одним и тем же углом и на земной поверхности эта линия получается двоякой кривизны, называемая локсодромией (что в переводе с греческого означает «косой бег»).

Плавание по локсодромии удобно, так как курс судна остается постоянным, а это упрощает все расчеты, связанные с прокладкой. Основные свойства локсодромии, проходящей через две точки, можно выявить из ее уравнения:

Из этого уравнения следует, что при К = 0° или К = 180° tg К = 0, тогда и λ2 - λ1 = 0, следовательно, на истинных курсах 0 или 180° долгота точек не изменяется и локсодромия совпадает с меридианом, превращаясь в дугу большого круга, и в данном случае проходит через земные полюса.

Если уравнение написать в виде

и принять К - 90° или К = 270°, то при этих значениях tg К = ~. Так как разность долгот λ2 - λ1 находящаяся в числителе, не может быть равна бесконечности, то должен быть равен нулю знаменатель, а он может быть равен нулю при 45° + φ1/2 = 45°+ φ2/2 т. е. когда φ1 = φ2.

Рис. 36

Следовательно, при К = = 90° или К = 270° широта точек не изменяется и локсодромия совпадает с параллелью или при φ2 = φ1 = = 0 - с экватором.

Для всех истинных курсов, отличных от 0 - 180° и 90 - 270°, локсодромия по спирали приближается к одному из полюсов, но никогда его не достигает (рис. 36).

Длина отрезка локсодромии, пройденного судном на данном курсе, не является кратчайшим расстоянием на земной поверхности. Кратчайшим расстоянием на земной поверхности при переходе судна из одной точки до другой будет дуга большого круга, называемая ортодромией (что в переводе с греческого означает «прямой бег»).

Ортодромия с каждым меридианом составляет переменные углы. Поэтому плавание по ортодромии требует предварительного вычисления как ее положения, так и курсов, которыми ведут судно по дуге большого круга (см. § 46).

Требования, предъявляемые к морским навигационным картам

При выборе проекции для построения той или иной карты всегда исходят из требований обеспечения решения задач, для которых она предназначается.

Картографическая проекция морских навигационных карт должна быть наиболее удобной для их использования в море, т. е. для решения основных задач по обеспечению безопасности судовождения наиболее простыми способами и приемами.

Исходя из этого, картографическая проекция морских навигационных карт должна удовлетворять следующим требованиям. Чтобы: линия пути судна, идущего постоянным курсом, т. е. локсодромия, изображалась прямой линией;

Величина углов, измеряемых с судна между разными ориентирами на местности, соответствовала величинам углов между теми же ориентирами на карте, т. е. проекция карты должна быть равноугольной; масштаб в пределах карты изменялся в возможно малых пределах т. е. искажения длин на карте не превышали ошибок графических построений и измерений на карте, выполняемых с помощью прокладочного инструмента.

Удовлетворяющие этим требованиям карты построены по проекции, предложенной в 1569 г. голландским картографэм Герардом Кремером, известным под именем Меркатора, поэтому эта проекция называется меркаторской. Меркаторская проекция является равноугольной цилиндрической проекцией, на ней земные меридианы и параллели изображаются прямыми, взаимно перпендикулярными линиями, а локсодромия - прямой, составляющей с меридианами один и тот же угол.

Математическое обоснование принципа меркаторской проекции

Представим, что изображение Земли выполнено в виде глобуса (рис. 37), меридианы на нем сделаны из стальных упругих проволок, закрепленных у полюсов, а параллели - из растягивающегося материала, скрепленные с меридианами.

Рис. 37

Меридианы и параллели окрасим краской и освободим крепления проволочных меридианов у полюсов. Тогда меридианы выпрямятся, а параллели растянутся и на внутренней поверхности цилиндра как бы отпечатаются. Теперь разрежем цилиндр по образующей (по одному из меридианов); на нем будет нанесена прямоугольная сетка (следы параллелей и меридианов), в которой длина меридианов осталась неизменной, а каждая параллель растянулась до длины экватора. При этом параллель, близкая к экватору, растянется меньше, а с увеличением широты растяжение параллелей увеличивается все значительнее. Остров К круглой формы, который был на глобусе, на развернутой плоскости цилиндра спроектируется в виде овала. Для сохранения подобия изображения на глобусе и проекции его на плоскости необходимо соответственно вытянуть по длине и меридианы.

Для доказательства этого положения рассмотрим рис. 38, где обозначим радиус параллели пп через r, широту этой параллели cp, радиус глобуса R.

Рис. 38

Из треугольника пОе, в котором сторона Ое = r, получим r = R - cos φ, a R = r * 1/cos φ или R = r - sec φ. Умножив обе части равенства на 2я, получим 2ПR = 2Пtr*sec φ.

Следовательно, каждая параллель на карте цилиндрической проекции растягивается на величину, пропорциональную секансу своей широты. Поэтому для сохранения подобия фигур на карте фигурам на местности отрезки меридианов необходимо растянуть пропорционально sec φ, чем будет достигнута равноугольность проекции.

Меридиональные части

Расстояния по меридиану от экватора до данных параллелей на меркаторской карте, выраженные в линейных единицах, называются меридиональными частями. Они обозначаются буквой D.

Для удобства меридиональные части выражают длиной дуги экватора в I, называемой экваториальной милей.

В табл. 26 (МТ-63) длина меридиональных частей рассчитана применительно к эллипсоиду Красовского.

Значения в таблице вычислены для широт от 0 до 89° 59" через 1" широты с точностью до 0,1 экваториальной мили. Для определения величины меридиональных частей на промежуточных значениях минуты широты (для десятых долей 1") применяют простое интерполирование.

Пример. Найти меридиональную часть для параллели 50° 18",5.

Решение. По табл. 26 (МТ-6.3) находим:

Расстояние по меридиану на меркаторской проекции между двумя параллелями, выраженное в экваториальных милях, называется разностью меридиональных частей (РМЧ) и обозначается AD.

Разность меридиональных частей двух параллелей равна алгебраической разности меридиональных частей этих параллелей

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 63°40" N и cp2 = 66°20" N.

Решение. По табл. 26 (МТ-63) находим:

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 5°12" N и cp2 = 3°28, 5.

Решение. По табл. 2 6 (МТ-63) имеем:

Меридиональные части используют при построении картографической сетки морских карт в меркаторской проекции, а разность меридиональных частей входит в одну из основных формул письменного счисления (см. гл. VII) .

Разность меридиональных частей двух параллелей, отстоящих друг от друга на 1", даст нам длину отрезка, изображающего на карте меркаторской проекции одну экваториальную минуту в данной широте. Эта разность меридиональных частей представляет не что иное, как изображение одной морской мили на карте меркаторской проекции. Меркаторской милей пользуются как единицей линейного масштаба для измерения широт и расстояний на карте меркаторской проекции.

Поскольку морская миля, как это было указано ранее, имеет постоянную величину на поверхности Земли, то она на морской карте меркаторской проекции изображается отрезками различной длины, в зависимости от широты места, к которому она относится.

Решение. 1) Выбираем меридиональные части для широт 39°30" и 40°30" по табл. 26 (МТ-63) :

Отсюда меркаторская миля в широте 40° равна 78,0/60 = 1,3 экв. мили.

2) выбираем меридиональные части для широт 69°30" и 70°30":

Следовательно, в cp = 70° меркаторекая миля равна 175,4/60 = 2,923 экв. мили. Из этого примера видно, что отношение длины меркаторской мили в cp = 70° к длине ее cp = 40° равно 2,923/1,3 = 2,248, т. е. меркаторская миля в ср = 70° изображается отрезком, в 2,248 раза большим, чем в cp = 40°.

Поэтому при измерении по морской навигационной карте расстояний между какими-либо точками необходимо расстояния в одну милю или в несколько миль брать всегда с боковой рамки карты в той же самой широте, в какой расположены точки. Практически для измерения расстояний на карте меркаторской проекции пользуются длиной меркаторской мили, соответствующей средней широте измеряемой линии.

Главный и частный масштабы карт меркаторской проекции

Главным масштабом на меркаторской карте называется масштаб, отнесенный к экватору (если проекция построена на поверхности касательного к нему цилиндра) или к параллели сечения, называемой главной параллелью (если проекция построена на поверхности секущего цилиндра).

Частный масштаб в меркаторской проекции постоянен по всем направлениям не только в данной точке, но и во всех точках, принадлежащих одной и той же параллели.

За пределами экватора или главной параллели, численное значение частного масштаба будет отличаться от главного масштаба, изменяясь все более по мере удаления к северу или югу от экватора или главной параллели.

Если проекция построена на поверхности касательного цилиндра, то на экваторе увеличение масштаба с = 1, а поскольку каждая параллель равна экватору (растянута в sec φ раз), то на каждой параллели с = sec φ.

Например, в широте 30° увеличение масштаба будет в 1,5 раза, в широте 60° - в 2 раза, а в широте 80° - в 5,75 раза.

При построении проекции на поверхности секущего цилиндра на главной (секущей) параллели увеличение масштаба с = 1.

В такой проекции все параллели становятся равными главной, и при этом все параллели, находящиеся ближе к полюсу, чем главная, растягиваются во столько раз, во сколько секанс широты данной параллели sec φ больше секанса широты главной параллели sес cpг.п. Следовательно, на этих параллелях увеличение масштаба с>1 . Параллели, расположенные к экватору, сокращаются во столько раз, во сколько sec φ ГП. больше sec φ, и, следовательно, с
Так как увеличение масштаба - отношение частного масштаба к главному c = μ/μ0 то частный масштаб μ = cμ0. Если х заменить отношением 1/C (С - знаменатель частного масштаба), а главный масштаб μ0 выразить через 1/C0 где С0 - знаменатель главного масштаба, то знаменатель частного масштаба

штаба для точек каждой параллели при построении проекции на поверхность касательного цилиндра определится из выражения С =
а при построении на поверхность секущего цилиндра С=

Морские карты, как правило, охватывают незначительные участки земной поверхности, поэтому в пределах карты величины главного и частных масштабов мало отличаются друг от друга. По главному масштабу, указанному в заголовке карты, судоводитель выбирает карты для решения тех или иных задач.

Предельная точность масштаба

От масштабов карт и планов зависит точность, с которой на них можно производить линейные измерения.

Линейное расстояние на местности, соответствующее 0,2 мм на карте или плане, называется предельной точностью масштаба. Величина 0,2 мм принята потому, что она приблизительно равна диаметру углубления, получаемого на карте при уколе иглой циркуля, и соответствует минимальной величине, различаемой невооруженным глазом. Величина предельной точности масштаба зависит от масштаба карты. Так, если масштаб карты 1/100000 то эта величина будет 20 м.

Следовательно, линия, проведенная на карте такого масштаба остроотточенным карандашом, будет соответствовать на местности полосе шириной 20 м и на этой карте мы не сможем различить расстояний меньше 20 м.

Вперед
Оглавление
Назад

При решении задач навигации возникает необходимость отображения на морской карте линии курса корабля (локсодромии), измерения и прокладки углом и направлений. Исходя из указанных задач, к картографической проекции морской карты предъявляются следующие требования:

Локсодромия на карте должна изображаться прямой линией;
- углы, измеренные на местности, должны быть равны соответствующим углам, проложенным на карте, т. е. проекция должна быть равноугольной.

Указанным требованиям удовлетворяет прямая равноугольная цилиндрическая проекция, разработанная в 1569 году голландским картографом Герардом Кремером (Меркатором).

1. Земля принимается за шар и рассматривается условный глобус, масштаб которого равен главному масштабу.
2. Координатные линии (меридианы и параллели) проецируются на цилиндр.
3. Ось цилиндра совпадает с осью условного глобуса.
4. Цилиндр касается условного глобуса по линии экватора.
5. Меридианы и параллели условного глобуса проецируются на поверхность цилиндра таким образом, чтобы их проекции оставались в плоскотях меридианов и параллелей.
6. После разрезания цилиндра по образующей и разворачивания в плоскость образуется картографическая сетка - взаимноперпендикулярные прямые линии: меридианы и параллели.

7. Цилиндр касается условного глобуса по экватору, поэтому круг Ao1 на экваторе на карте изображается кругом A1.
8. При проецировании параллелей происходит их растяжение, причем чем параллель дальше отстоит от экватора (больше географическая широта) тем растяжение больше: круги Ао2 и Ао3 на карте изображаются эллипсами А2, А3, т. е. полученная проекция не равноугольная.
9. Чтобы эллипсы А2 и Аз превратились в круги А2" А3" неооходимо меридиан в каждой точке вытянуть пропорционально растяжению параллели в данной точке.
Чем больше широта, тем больше растянута параллель, а следовательно, тем больше должен быть вытянут меридиан
10. В результате одинаковые круги на глобусе, расположенные на разных параллелях, на карте изобразятся кругами разных размеров, увеличивающихся с географической широтой.

Графическое изображение на карте одной минуты дуги меридиана (морская миля) увеличивается с географической широтой.

Следовательно, при измерении и прокладке расстояний необхо-димо использовать ту часть линейного масштаба карты, в широте которого осуществляется плавание корабля.

Полученная таким образом проекция является:
- прямой - ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли;
- равноугольной - элементарный круг на земной поверхности изображается на карте кругом (сохраняется подобие фигур);
- цилиндрической - картографическая сетка (меридианы и параллели)представляет собой взаимно перпендикулярные прямые линии.

Уравнение проекции для шара имеет вид:

X = R ln tg (45" + φ/2); y = R λ;

При получении проекции главный масштаб соответствовал главному масштабу условного глобуса, т е. при проецировании на цилиндр искажения отсутствовали на линии, по которой цилиндр касался глобуса - на экваторе.

При изготовлении карт в данной проекции это оказалось недостаточно удобным. Поэтому для каждой широтной зоны выбрали линию проекции, на которой отсутствуют искажения - главную параллель. Параллель, на которой масштаб равен главному масштабу, называется главной параллелью. Широта главной параллели данной карты указывается в заголовке карты.

Проекция Меркатора

Равноугольная цилиндрическая проекция впервые была предложена и применена в 1569 году голландским картографом Меркатором.

Для вывода формул этой проекции определим сначала масштаб по параллелям в простейшей из цилиндрических проекций в так называемой квадратной проекции. В этой проекции меридианы и параллели, проведенные через одинаковое число градусов по долготе и широте, образуют на карте сетку квадратов, причем сохраняются длины по всем меридианам и экватору (проекция равнопромежуточная).

Пусть PC0A0 и PD0B0 (рис. 1) -меридианы на глобусе радиуса R с бесконечно малой разностью долгот, а прямые

Рис. 1. Два меридиана и две параллели на глобусе и на карте в цилиндрической проекции

СА и DB - соответствующие меридианы на карте в квадратной проекции.

Тогда бесконечно малому отрезку С0D0 произвольной параллели с широтой и радиусом r на глобусе будет соответствовать на карте бесконечно малый отрезок CD, и масштаб по параллели

CD = AB = A 0 B 0 ,

Где A0B0 - дуга экватора.

Так как отношение дуг окружностей равно отношению их радиусов, то

Из ОС 0С" , где ОС 0С" = Имеем

Следовательно,

Из формулы видно, что масштаб по параллели в квадратной проекции изменяется от единицы до бесконечности, причем единице он равен на экваторе (при = 0°), а бесконечности-в точке полюса (при = 90°). Полюс в квадратной проекции изобразится отрезком прямой, равным по длине экватору.

Теперь, чтобы сделать масштаб по меридианам равным масштабу по параллелям (m=n), т. е. чтобы перейти от квадратной проекции к равноугольной (от эллипсов искажений к кругам), необходимо меридианы квадратной проекции растянуть в каждой точке во столько раз, во сколько раз параллели этой проекции увеличены по отношению к соответствующим параллелям глобуса, т. е. в Раз. Следовательно, для превращения в первом приближении квадратной картографической сетки в картографическую сетку равноугольной проекции необходимо отрезки меридиана ОА, АВ, ВС и т. д. (рис. 2) соответственно умножить

Рис. 2. Превращение квадратной проекции в равноугольную цилиндрическую

на 1, 2, 3 и т. д., где 1,2, 3 - соответственно широты середин этих отрезков. Тогда меридианный отрезок ОС1 в равноугольной проекции, соответствующий отрезку ОС в квадратной проекции, представится выражением

ОС1 = О A 1 + A 1 В1, + В1С1 = О A 1 + AB 2 + BC 3 ,

А так как отрезки

ОА = АВ = ВС ,

ОС 1 =ОА (1 +2 +3).

Меридианный отрезок ОС 1 будет определен тем точнее, чем меньшими будут взяты составляющие его отрезки, поскольку растяжение меридианов должно носить непрерывный характер от экватора до данной параллели.

Наиболее точный результат будет получен тогда, когда меридианный отрезок D в проекции Меркатора будет состоять из суммы бесконечно большого количества бесконечно малых величин

,

Где Dx - бесконечно малый отрезок меридиана в квадратной проекции,

DD - соответствующий ему бесконечно малый отрезок меридиана в равноугольной проекции Меркатора. Но ввиду постоянства масштаба по меридианам в квадратной проекции отрезок

Сумму же бесконечно малых величин в высшей математике называют интегралом. Взять интеграл от обеих частей равенства это значит взять сумму бесконечно малых величин этих частей равенства в определенных пределах.

Интеграл от выражения в пределах значения широты от 0 до Напишем так

В результате интегрирования в левой части равенства получим меридианный отрезок D; правая же часть равенства представляет собой табличный интеграл, равный

Таким образом, меридианный отрезок

,

где С-постоянная интеграции.

Величина, С должна быть постоянной при всех значениях широты, поэтому ее легко определить, взяв = 0°. При = 0° параллель соответствует экватору, для которого D = 0, т. е.

Следовательно,

Переходя от натурального логарифма к десятичному и выражая D в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь окончательную рабочую формулу для вычисления меридианного отрезка D в равноугольной цилиндрической проекции для шара

(29)

Где Mod =0,4343.

Формула показывает, что меридианный отрезок D для полюса ( = 90°) равен бесконечности, т. е. полюс на карте в этой проекции не изобразится.

Принимая же Землю за эллипсоид, будем иметь формулу

(30)

Где а - радиус экватора земного эллипсоида (выражен в метрах),

U - та же величина, что и в формуле (22) равноугольной конической проекции.

Расстояния между меридианами в равноугольной проекции, как и в квадратной проекции, определяются по формуле

Где выражено в радианной мере. Принимая Землю за эллипсоид и выражая в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь

Часто эта формула пишется в виде

(31)

Где У - расстояние от среднего меридиана карты до определяемого,

°-разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах, °=57°,3.

Очевидно, что искажения в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре будут выражаться формулами

(32)

Для вычисления меридианных отрезков D, ординат у и масштабов в равноугольной цилиндрической проекции на секущем цилиндре рабочие формулы будут иметь вид

(34)

(35)

(37)

Где r0- радиус параллели сечения с широтой 0 на земном эллипсоиде,

r-радиус параллели с широтой на земном эллипсоиде, по которой определяется масштаб,

Главный масштаб карты,

°- разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах.

Картографическая сетка в проекции Меркатора

Для построения картографической сетки в проекции Меркатора и нанесения опорных пунктов на составляемую карту необходимо знать прямоугольные координаты (меридианный отрезок D и ординату у) точек пересечения меридианов и параллелей и опорных пунктов.

Значение D по аргументу широты среднее выбирается из специальных таблиц, составленных Гидрографическим управлением ВМФ, а значение у вычисляется по формуле (35).

За начало координат на морских картах берется точка пересечения среднего меридиана и главной параллели морского бассейна, для которого составляются карты. Эта параллель является параллелью сечения, и масштаб по ней равен единице.

Зная прямоугольные координаты вершин углов рамки листа карты, находят размеры сторон этой рамки, как разности меридианных отрезков D для южной и северной параллелей и разности значений у для западного и восточного меридианов. По найденным размерам сторон строят прямоугольник (внутреннюю рамку листа), который будет являться основой для построения промежуточных меридианов и параллелей карты, а также для нанесения опорных пунктов.

Меридианы и параллели в проекции Меркатора изображаются параллельными и взаимно-перпендикулярными прямыми, поэтому для их построения достаточно определить меридианные отрезки D. Для точек пересечения параллелей карты с осью X и ординаты у для точек пересечения меридианов карты с осью У. Когда эти значения найдены, определяют разности D - Dю и у - у3 для указанных точек. Здесь Dю - меридианный отрезок южной параллели, а уз- ордината западного меридиана. Эти разности откладывают от вершины юго-западного угла рамки по западной и южной сторонам и через точки отложения проводят линии, параллельные соответственно южной и боковой сторонам, которые и будут являться параллелями и меридианами карты.

Рис 3 Картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (Меркатора)

На рис. 3 показана картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (на касательном цилиндре) для изображения земного шара. Значения масштабов в этой проекции приведены в таблице 4.

Таблица 4

Масштабы в равноугольной цилиндрической проекции Меркатора.

Благодаря тому, что проекция Меркатора является равноугольной, а меридианы изображаются в ней параллельными прямыми, она обладает одним замечательным свойством: линия, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, изображается в этой проекции прямой. Такая линия называется локсодромией. Движущееся судно, если оно с помощью компаса держит один и тот же курс, фактически идет по локсодромии. Указанное свойство проекции Меркатора привело к широкому ее использованию для морских карт.

Рис. 4. Ортодромия и локсодромия на карте в проекции Меркатора

Ортодромия и локсодромия

По карте, составленной в проекции Меркатора, легко и просто отмечать путь судна и определять его постоянный курс, т. е. направление, по которому оно должно двигаться, чтобы попасть из одной точки в другую. Постоянный курс судна определяется путем измерения транспортиром угла между прямой, соединяющей эти точки на карте, и одним из меридианов.

Однако следует заметить, что при большом расстоянии между точками А и В (рис. 4) локсодромия на сфере значительно отходит в сторону от ортодромии (кратчайшего расстояния между этими точками), которая в проекции

Рис. 5. Ортодромия и локсодромия между Нью-Йорком и Москвой на карте в проекции Меркатора.

Меркатора изображается кривой линией. В этом случае штурман ведет судно не по одному курсу, а по нескольким, меняя направление движения в определенных точках (а и b). Путь судна при этом изобразится на карте в виде ломаных линий хорд, вписанных в ортодромию. Применительно к рисунку, судно из точки А к точке А пойдет под азимутом из точки А к точке b - под азимутом , из точки b к конечной точке В - под азимутом .

Для наглядности можно указать (рис. 5), что между Нью-Йорком и Москвой длина ортодромии составляет 7507 км, а локсодромии - 8371 км, т. е. разница между их длинами равна 864 км. Наибольшее удаление точек локсодромии от ортодромии здесь достигает 1650 км.

Второе удобство проекции Меркатора в применении ее для морских навигационных карт состоит в том, что она позволяет легко, с достаточной для практики точностью, определять по карте расстояния в морских милях, не прибегая при этом к построению особых масштабов, а пользуясь лишь делениями (в градусах или минутах), нанесенными на боковых сторонах рамки карты. Морская миля равна 1852 м, что приблизительно соответствует средней длине дуги меридиана в одну минуту.

Если, например, по карте требуется определить в морских милях расстояние АВ (рис. 42), то, сняв раствором циркуля отрезок АВ, прикладывают циркуль к ближайшей боковой стороне рамки карты так, чтобы середина отрезка- точка С-оказалась на средней широте точек А и В (в точке С1). Количество меридианных минут, подсчитанное в пределах этого отрезка, и будет выражать расстояние АВ в морских милях (на рис. 6 отрезок А В = 215 миль).

В заключение необходимо отметить, что при составлении топографических и обзорно-топографических карт различных масштабов широко используются в качестве картографического материала различные Морские карты, составленные в равноугольной цилиндрической проекции. Поэтому знание особенностей этой проекции имеет большое практическое значение.

Рис. 6. Определение расстояния АВ в милях по карте в проекции Меркатора

Упражнение

Вычислить меридианный отрезок D и ординату «у» в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре для точки с географическими координатами = 30°, 35° (от среднего меридиана, принятого за ось X) при = 1:5000000. Эллипсоид Красовского.

Равноугольная цилиндрическая проекция - 5.0 out of 5 based on 1 vote